「相続放棄」はプラスマイナスどっちも放棄です！
「相続放棄」という規定が民法にあります（民法938条）。
これは，「被相続人（亡くなった方）の積極財産（不動産や預貯金等のプラスの財産）と消極財産（借金等のマイナスの財産）の双方とも放棄します」ということを家庭裁判所にて手続をすると，財産関係については，最初から相続人では無かったことになり，積極財産も消極財産も相続しないことになります。決して，積極財産は相続するけど消極財産は相続しない，というような都合の良い方法ではありません。
私としては当然のことと思っていたのですが，消極財産のみ放棄できると勘違いされて手続のご相談にお越しになられた方がいらっしゃったため，念のため記載しておきます。なお，相続放棄は，期間制限があり，被相続人が亡くなったこと（というか，ご自身が相続人であること）を知ったときから3ヶ月以内に手続をしなければなりません。
ただし，この3ヶ月については例外もありますので，仮に亡くなってから3ヶ月経っていたとしても認められる場合がありますので，一度弁護士や司法書士にご相談下さい。
参考→東日本大震災の被災者の熟慮期間について（ただし，すでに期間は切れています。）